CS - 032 - Habilidades matemáticas II

CS	HABILIDAD MATEMÁTICA II
032	Nivel: 2	Año: 2012	División Sudamericana

1. Conocer las cuatro operaciones básicas.

1. La suma es el proceso de añadir dos o más números para obtener un total. Imagina que tienes 3 lápices y te dan 2 lápices más. Para saber cuántos lápices tienes en total, realizas la suma: 3 + 2 = 5 tendría un total de 7 lápices.
2. La resta consiste en quitar o sustraer una cantidad de otra para obtener el resultado o diferencia. Si tienes 7 galletas y te comes 3, para saber cuántas te quedan, haces: 7 — 3 = 4 Quedarían 4 galletas.
3. La multiplicación es una forma rápida de sumar el mismo número varias veces. Si quieres sumar 4 en tres ocasiones, la multiplicación es: 4 × 3 = 12 Esto equivale a: 4 + 4 + 4 = 12
4. La división es la operación inversa de la multiplicación. Se utiliza para repartir o distribuir una cantidad en partes iguales. Si tienes 12 caramelos y quieres repartirlos equitativamente entre 4 amigos, la división es: 12 ÷ 4 = 3 Esto significa que cada amigo recibe 3 caramelos.

2. Explicar y presentar la historia de la raíz cuadrada y resolver dos ejemplos prácticos de extracción de raíz.

Civilizaciones antiguas, como los babilonios (alrededor del 1800 a.C.), ya desarrollaron métodos para calcular raíces cuadradas de forma aproximada. Estos métodos se basaban en técnicas iterativas para obtener valores cada vez más precisos.

Matemáticos griegos, como Euclides, estudiaron las propiedades de los números y sus relaciones geométricas, lo que implicaba también el uso de raíces cuadradas en la resolución de problemas geométricos.

Durante la Edad Media, matemáticos del mundo islámico perfeccionaron estos métodos. En el Renacimiento, se popularizó el uso del símbolo “√” para representar la raíz cuadrada, derivado de la palabra latina radix, que significa “raíz”. Además, se conoce el método de Herón (o método babilónico), que es una forma iterativa de aproximar raíces cuadradas y que se utiliza incluso en la actualidad.

Ejemplo 1: Raíz cuadrada de un número perfecto

Problema: Calcular la raíz cuadrada de 49.

Pasos a seguir:

1. Sabemos que 49 es un número perfecto, ya que 7 × 7 = 49.
2. La raíz cuadrada de 49 es el número que, al multiplicarse por sí mismo, da 49.

Resultado: √49 = 7

Ejemplo 2: Raíz cuadrada de un número no perfecto

Problema: Calcular la raíz cuadrada de 50 y simplificarla.

Pasos a seguir:

1. Factorizar el número: Descomponemos 50 en sus factores primos o en factores que incluyan un cuadrado perfecto.

50 = 25 × 2, y observamos que 25 es un cuadrado perfecto (5 × 5)

2. Utilizar la propiedad de las raiz: Aplicamos la propiedad que dice: √(a x b) = √a × √b

Así, √50 = √(25 × 2) = √25 × √2

3. Simplificar la expresión: Sabemos que √25 = 5, por lo tanto:

√50 = 5√2

4. Aproximar el valor numérico (Opcional): Si se requiere una aproximación, recordamos que √2 ≈ 1.414. Entonces,

5√2 ≈ 5 × 1,414 = 7,07

Resultado: 5√2 = 7,07

3. Presentar y resolver dos ejemplos simples de potenciación con números enteros de exponentes positivos y negativos.

Ejemplo 1: Potenciación con exponente positivo

Problema: Calcular 3⁴

Pasos a seguir:

1. Definir la potenciación: La potenciación 3⁴ significa multiplicar el número 3 por sí mismo 4 veces:

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3

2. Realizar la multiplicación:
• Primero: 3 × 3 = 9
• Luego: 9 × 3 = 27
• Finalmente: 27 × 3 = 81

Resultado: 3⁴ es igual a: 81

Ejemplo 2: Potenciación con exponente negativo

Problema: Calcular 2^—3

Pasos a seguir:

1. Interpretar el exponente negativo: Un exponente negativo indica el inverso multiplicativo del número con el exponente positivo. Es decir, $2^{\mathrm{—3}}=\frac{1}{2^3}$
2. Calcular 2³ (exponente positivo): 2³ = 2 × 2 × 2
• Primero: 2 × 2 = 4
• Luego: 4 × 2 = 8
3. Aplicar la definición del exponente negativo: $2^{\mathrm{—3}}=\frac{1}{8}$

Resultado:  $2^{\mathrm{—3}}$ es igual a: $\frac{1}{8}$

4. Dibujar o recortar de revistas o diarios, tres ejemplos prácticos en que usamos los números enteros negativos y positivos en nuestra rutina diaria.

5. Demostrar la habilidad de resolver una expresión numérica con números enteros negativos y positivos. Mostrar dos ejemplos

Ejemplo 1

Expresión: 8 — (—3) + (—2) × 4

Pasos a seguir:

1. La expresión 8 — (—3) equivale a sumar el opuesto de —3: 8 — (—3) = 8 + 3 = 11
2. Multiplicamos —2 por 4: (—2) × 4 = —8
3. Sumamos los resultados obtenidos: 11 + (—8) = 11 — 8 = 3

Ejemplo 2

Expresión: —6 + 2 × (3 — (—4)) ÷ 2

Pasos a seguir:

1. En el paréntesis, restamos —4, lo que equivale a sumarlo: 3 — (—4) = 3 + 4 = 7
2. Multiplicamos 2 por el resultado obtenido: 2 × 7 = 14
3. Dividimos el producto entre 2: 14 ÷ 2 = 7
4. Sumamos —6 al resultado de la división: —6 + 7 = 1

6. Investigar y presentar de forma escrita, las principales fracciones de nuestra rutina diaria y en qué situaciones usamos cada una de ellas.

Las fracciones nos permiten expresar de manera exacta partes de un todo, facilitando tareas cotidianas como cocinar, administrar el tiempo y manejar el dinero. Conocer y comprender estas fracciones mejora nuestra capacidad para resolver problemas y gestionar recursos en la vida diaria. veamos algunos ejemplos:

1. La mitad  $\left(\frac{1}{2}\right)$  Esta fracción representa dividir algo en dos partes iguales. Por ejemplo, si tienes una pizza y la cortas en 2 partes iguales, cada parte es  $\frac{1}{2}$  de la pizza.
2. El cuarto  $\left(\frac{1}{4}\right)$  Representa una división de un entero en cuatro partes iguales. Un ejemplo cotidiano es cuando dividimos un pastel en 4 partes iguales, lo que quiere decir que cada persona se lleva un  $\frac{1}{4}$  del pastel.
3. Tres cuarto  $\left(\frac{3}{4}\right)$  Indica que se tiene la parte que resulta de unir 3 de las 4 partes iguales en las que se ha dividido un entero. Por ejemplo, si una botella contiene 1 litro y se utiliza  $\frac{3}{4}$  del contenido, se han usado 0,75 litros.
4. Los octavos  $\left(\frac{1}{8}\right)$  Se emplea cuando dividimos algo en ocho partes iguales. Por ejemplo, si tienes una barra de chocolate y la cortas en 8 partes iguales, cada parte es  $\frac{1}{8}$  de la barra.

7. Demostrar habilidad de resolver cuatro operaciones básicas, involucrando las fracciones, incluyendo el cálculo de m.c.m. en el caso de suma y resta y terminar con una simplificación cuando es posible.

Ejemplo 1: Suma de fracciones

• Resolver la siguiente suma:   $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$

Solución:

• El m.c.m. de 3 y 4 es 12.
• Convertimos las fracciones a denominadores comunes utilizando el valor obtenido en m.c.m.

$$\frac{\mathrm{1\; \times \; 4}}{\mathrm{3\; \times \; 4}}=\frac{4}{12};\frac{\mathrm{1\; \times \; 3}}{\mathrm{4\; \times \; 3}}=\frac{3}{12}$$

• Sumamos los numeradores y colocamos el mismo denominador:
$$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Ejemplo 2: Resta de fracciones

• Resolver la siguiente resta:
$$\frac{6}{5}-\frac{3}{4}$$

Solución:

• El m.c.m. de 5 y 4 es 20.
• Convertimos las fracciones a denominadores comunes utilizando el valor obtenido en m.c.m.

$$\frac{\mathrm{6\; \times \; 4}}{\mathrm{5\; \times \; 4}}=\frac{24}{20};\frac{\mathrm{3\; \times \; 5}}{\mathrm{4\; \times \; 5}}=\frac{15}{20}$$

• Restamos los numeradores y colocamos el mismo denominador:
$$\frac{24}{20}-\frac{15}{20}=\frac{9}{20}$$

Ejemplo 3: Multiplicación de fracciones

• Resolver la siguiente multiplicación:
$$\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}$$

Solución:

• Multiplicar numeradores y denominadores:

$$\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{\mathrm{2\; \times \; 3}}{\mathrm{3\; \times \; 5}}=\frac{6}{15}$$

• Simplificar la fracción ya que ambos son divisibles entre 3
$$\frac{\mathrm{6\; ÷\; 3}}{\mathrm{15\; ÷\; 3}}=\frac{2}{5}$$

Ejemplo 4: División de fracciones

• Resolver la siguiente multiplicación:
$$\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}$$

Solución:

• Convertir la división en multiplicación por la inversa:

$$\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}$$

8. Presentar en forma de afiche las principales figuras planas con sus características y demostrar cómo calcular el área y el perímetro de las mismas.

9. Demostrar la habilidad de convertir las principales unidades de medidas; metro (m), metro cuadrado (m²), kilogramo (kg), gramo (g) y metro cúbico (m³). Presentar tres ejemplos de conversión.

Ejemplo 1: Conversión de Longitud

Problema: Convertir 7,5 metros a centímetros.

1. Relación de conversión: 1 metro → 100 centímetros.
2. Cálculo: 7,5 m × 100 = 750 cm.
3. Resultado: 7,5 m = 750 cm.

Ejemplo 2: Conversión de Área

Problema: Convertir 4 metros cuadrados (m²) a centímetros cuadrados (cm²).

1. Relación de conversión:
   1 metro = 100 centímetros, por lo que:
   1 m² = (100 cm) × (100 cm) = 10,000 cm².
2. Cálculo: 4 m² × 10,000 = 40,000 cm².
3. Resultado: 4 m² = 40,000 cm².

Ejemplo 3: Conversión de Masa y Volumen

Problema:

1. Convertir 3 kilogramos (kg) a gramos (g).
2. Convertir 0,75 metros cúbicos (m³) a litros (L).

1. Conversión de masa:
   • Relación: 1 kg → 1000 g
   • Cálculo: 3 kg × 1000 = 3000 g.
   • Resultado: 3 kg = 3000 g.
2. Conversión de volumen:
   • Relación: 1 m³ → 1000 L
   • Cálculo: 0,75 m³ × 1000 = 750 L.
   • Resultado: 0,75 m³ = 750 L.

10. Presentar tres ejemplos de ecuaciones involucrando la letra “x” y resolver cada uno dando la solución correcta.

Ejemplo 1

Resolver la siguiente ecuación: $2x+3=11$

Pasos para resolver:

1. Para despejar la "x" muevo a la derecha 3 para restar 11:
   
   $2x=11—3que\; es\; igual\; a:2x=8$


2. Despejamos el 2 que multiplica la "x" al otro lado de la igualdad dividiendo a 8:
   
   $x=\frac{8}{2}$


3. Dividimos la fracción y obtenemos:
   
   $x=4$

Ejemplo 2

Resolver la siguiente: $4x—5=2x+7$

Pasos para resolver:

1. Despejamos y agrupamos términos semejantes:
   
   $4x-2x=7-5$


2. Realizamos las operaciones de suma y resta:
   
   $2x=12$


3. Despejamos el 2 que multiplica la "x" al otro lado de la igualdad dividiendo a 12:
   
   $x=\frac{12}{2}$


4. Dividimos la fracción y obtenemos:
   
   $x=6$

Ejemplo 3

Resolver la siguiente:  $\frac{1}{3}x+4=\frac{2}{3}x—1$

Pasos para resolver:

1. Restamos $\frac{1}{3}x$ a ambos lados para tener la x en un solo lado:
   
   $\frac{1}{3}x+4—\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x—1—\frac{1}{3}xresultaría\; la\; siguiente\; expresión:4=\frac{1}{3}x—1$


2. Luego sumamos 1 a ambos lados de la igualdad:
   
   $1+4=\frac{1}{3}x—1+1resultaría\; la\; siguiente\; expresión:5=\frac{1}{3}x$


3. Multiplicamos por 3 cada lado de la igualdad para simplificar $\frac{1}{3}$:
   
   $3\times 5=\frac{1}{3}x\times 3quedría:15=x$


4. Resultado final: $x=15$